2. Metoda iteracji prostej

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Metoda iteracji prostej (kolejnych przybliżeń)Twierdzenie:Niech funkcjaF(x)będzie określona i różniczkowalna w przedzialedomkniętym [a;b] i niech równaniex=F(x) ma pierwiastekmieszczącysię w przedziale[a;b]zawartym w przedziale [a;b]gdzie:a=a+1/3(b-a)b=b-1/3(b-a)aabbwówczas:Jeżeli1)Istnieje ułamek właściwy q taki, że:F' ( x )q1to proces iteracyjny:dla x(a;b) i x(a;b)xn1�½ F(xn)lim xn�½jest zbieżny niezależnie od przybliżenia zerowego x(a;b)zaś wartość granicznacjest jedynym pierwiastkiem równania:w przedziale [a;b]x�½ F( x )Metoda iteracji prostej (kolejnych przybliżeń)Dane jest równanief(x)=0gdzie f(x) jest funkcją ciągłą.Należy wyznaczyć pierwiastki tego równania.Równanie to sprowadzamy do postaci równaniarównoważnego:x=F(x)Graficzna interpretacja oparta jest na wykresach funkcji:y=x oraz y=F(x)Metoda iteracji jest zbieżna gdyF' ( x )1F’(x)>0F' ( x )1yy=xxn1�½ F(xn)y=F(x)Pierwiastek równania jest odciętą (i rzędną) punktu przecięciakrzywej y=F(x) i prostej y=x .Startując z punktu (x,F(x)) i używając iteracji, otrzymujemy x1=F(x); punkt x1na osi x dostajemy, rysując linie poziomą z punktu(x,F(x))=(x,x1) do przecięcia z prostą y=x w punkcie (x1,x1).Stąd prowadzimy linię pionową do (x1,F(x1))=(x1,x2) itd.x1xxF’(x)<0F' ( x )1y=xxn1�½ F(xn)yy=F(x)x1x2xx [ Pobierz całość w formacie PDF ]