2.Równanie różniczkowe o ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]

Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Niech              ,

              ,   gdzie (a,b),(c,d) – są to skończone lub nieskończone przedziały,

,

Równanie różniczkowe

o funkcji niewiadomej nazywamy równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych.

Równanie to można zapisać równoważnie:

.

Stwierdzenie

Niech               F – funkcja pierwotna funkcji f w (a,b),

H – funkcja pierwotna funkcji h w (c,d).

Wtedy zbiór rozwiązań równania jest taki sam jak zbiór rozwiązań równania

       ,

gdzie (C jest dowolną stałą dobraną do funkcji F, H, y).

Dowód

Niech spełnia równanie . Zatem

                oraz  .

Stąd

czyli

Niech spełnia równanie .

Ponieważ oraz ,

zatem albo w albo H’<0 w funkcja H jest więc silnie monotoniczna w przedziale (c,d) i

Stąd, ponieważ założyliśmy, że

otrzymujemy

,

więc .

Możemy skorzystać z twierdzenia o pochodnej złożenia:

czyli spełnia równanie .                                                       

Uwaga

Równanie zapisujemy w tradycyjny sposób

        .

Twierdzenie

Jeśli

to

wzór przedstawia całkę ogólną równania ,

      przez każdy punkt przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa                                                                                                        

             równania .

Przykład

Rozwiązać równanie .

Rozdzielamy zmienne i wyznaczamy całkę ogólną równania (mówimy, że całkujemy równanie).

Stąd

,  gdzie ,

i otrzymujemy rozwiązanie

, dla .

Gdy ; równanie jest spełnione,

                                               czyli jest krzywą całkową równania.

Zatem rodzina

jest całką ogólną (rozwiązaniem ogólnym) równania.

4